František Babický se narodil 11. prosince 1938 v Praze, vyrůstal v Brandýse nad Labem, kde se jako žák v klavíru a později konzervatorista zapojoval aktivně do uměleckého života. V letech 1953–1965 absolvoval pražskou konzervatoř a Hudební akademii múzických umění v oboru dirigování u Bohumíra Lišky. Přestože během studií neměl ambice dělat operu, po zhlédnutí Bizetovy Carmen, která ho přímo očarovala, změnil názor.
V roce 1964 získal první angažmá v Jihočeském divadle jako sbormistr, později i dirigent. O pět let později byl jmenován Františkem Vajnarem dirigentem Státního divadla Zdeňka Nejedlého v Ústí nad Labem (dnes Severočeské divadlo opery a baletu), kde setrval až do roku 1974. V témže roce přijal pozici dirigenta a šéfa opery v Divadle F. X. Šaldy Liberec. Během svého působení v Liberci se mu podařilo uvést například celý smetanovský operní cyklus, v posledních letech libereckého působení stojí za zmínku zvláště dvojí nastudování Rusalky, dále Prodané nevěsty, ze světové opery pak Pucciniho Manon Lescaut, Tosca či Madama Butterfly. S nebývalou erudicí přistupoval i k operetnímu žánru.
V roce 1980 se stal šéfdirigentem Armádního uměleckého souboru v Praze a souběžně spolupracoval s Filharmonií Hradec Králové. Od 14. září 1983 pracoval na poloviční úvazek jako dirigent v pražském Národním divadle, 1. srpna 1986 získal plný úvazek. Po rozdělení pražských operních scén byl od 1. dubna 1992 dirigentem Státní opery Praha. V letech 1992–1998 působil také jako šéf opery Městského divadla Ústí nad Labem a souběžně dirigoval v Liberci, kde od roku 2002 setrval. S libereckým publikem se rozloučil v roce 2017 symfonickým koncertem, provedením Dvořákovy Novosvětské symfonie.
Externě působil od roku 2010 na Hudební akademii múzických umění v Praze jako profesor operního dirigování. Tajemství hudby dovedl rozkrývat s neobyčejnou energií, přísností „padni komu padni“, ale i s taktem a rozhodně s vtipem.
Dirigoval symfonické i operní orchestry, v Čechách i zahraničí, kde propagoval převážně českou hudbu. Byl odborníkem na verismus a znalcem děl Antonína Dvořáka a Bedřicha Smetany. Jeho operní interpretace byly charakteristické dramatickými gesty a zatěžkanými tempy. V roce 2019 získal čestné občanství města Liberec za mimořádné zásluhy o rozvoj města v umění.
Na Pražském jaru vystupoval opakovaně jako pianista i dirigent. Zajímavostí je, že pravidelně doprovázel na klavír také Vladimíra Menšíka v jeho estrádních pořadech.
František Babický byl také velkým milovníkem humoru, dobrého jídla a šachové hry, ve všem pak dosahoval znamenitých výsledků. Intelektuální výbava mu dodávala charakteristický nadhled projevující se nezřídka v komunikaci ostrovtipem, v kontrapunktu však stála hluboce lyrická duše, pro niž byl sarkasmus prostředkem obrany proti stylizaci a malosti.
Byl celkem čtyřikrát ženatý, jeho syn je renomovaný golfista Alan Babický.
Zemřel 17. dubna 2023 ve věku 84 let na selhání orgánů. Jedním z jeho posledních přání, které již nestihl realizovat, bylo zasadit lípu v areálu Smetanovy jabkenické myslivny. Snad se to podaří „in memoriam“.
