Po maturitě na reálce v rodných Litoměřicích studoval Radomil Eliška brněnskou Janáčkovu Akademii múzických umění. Jeho učitelé dirigování byli Břetislav Bakala, František Stupka, Bohumír Liška a Josef Veselka. Hře na housle se učil pod vedením Julia Remeše. V rámci svého absolutoria roku 1955 dirigoval Perníkovou chaloupku od Engelberta Humperdincka a Druhou symfonii Zdeňka Fibicha.
V letech 1953 až 1969 působil jako dirigent souboru Radost, pražského Československého státního souboru písní a tanců či Armádního uměleckého souboru Víta Nejedlého.
Mezi lety 1969 až 1990 byl šéfdirigentem Karlovarského symfonického orchestru, se kterým podniknul řadu koncertních turné do zahraničí, a natočil řadu úspěšných nahrávek.
V letech 1991 až 1996 působil v čele Západočeského symfonického orchestru v Mariánských Lázních.
Během své bohaté kariéry spolupracoval s orchestry, mezi kterými se vyjímají Česká filharmonie, Symfonický orchestr hlavního města Prahy FOK, Symfonický orchestr Československého rozhlasu, Státní filharmonie Brno nebo Pražská komorní filharmonie, ale i v zahraničí, jako například Drážďanská filharmonie, Záhřebská filharmonie, Velký symfonický orchestr Všesvazového rozhlasu a televize Moskva, Rostovská filharmonie, Filharmonie Halle, Yomiuri Nippon Symphony Orchestra v Tokyu či Filharmonie Würzburg.
Radomil Eliška byl ceněným pedagogem na Akademii múzických umění v Praze, kde učil od roku 1978. Množství dirigentů vděčí Radomilu Eliškovi za jeho pedagogické vedení: Leoš Svárovský, Jakub Hrůša, Jaroslav Brych, Vojtěch Spurný, Tomáš Brauner, Tomáš Netopil, Marko Ivanovič, Jakub Klecker, Lukáš Vasilek, Marek Štryncl, Stanislav Vavřínek, Jan Bubák, Ondřej Vrabec, Damiano Binetti, Jan Svejkovský a řada dalších.
Eliška byl držitelem řady ocenění. V letech 1974 a 1984 to byly medaile Bedřicha Smetany, 1978 a 1985 medaile Leoše Janáčka. Roku 1972 obdržel cenu Krajského národního výboru v Plzni a v roce 1979 cenu Svazu českých skladatelů a koncertních umělců. Zasloužilým umělcem byl jmenován v roce 1984.
